小白学统计（50）假设检验时，样本容量的确定

摘要：如果统计量的数值落在接受域内，则作出的结论可能犯“取伪”错误，而且犯“取伪”错误的概率β是不可知的。

如果统计量的数值落在接受域内，则作出的结论可能犯“取伪”错误，而且犯“取伪”错误的概率β是不可知的。但是，在实践中，有些决策既需要控制犯“弃真”错误的概率α，也需要控制犯“取伪”错误的概率β。在这种情况下，可以通过样本容量的改变来满足这种要求。

例如，我们假设

H0:μ=μ0;H1:μ>μ0

如果σ已知，n为大样本（或正态总体），则可以确定

上式即为在α和β都确定后的样本容量计算公式。在使用上式时还需注意，当假设为H0:μ=μ0; H1:μ<μ0时，上式中的分母为(µ0－µ1)2，其值与(µ1－µ0)2相等，因此n不变。当假设为H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0时，公式中的Zα用Zα/2代替。

下面我们通过一个例题来说明n的确定方法。

例题：有人说某学院学生平均每天的锻炼时间至少30min。随机在该学院中选取100名学生，他们每天平均的锻炼时间为31min，已知学生锻炼时间的标准差为12min。试在α＝0.05的显著性水平下，检验该人的说法是否可信。

解:本例是对总体均值的单侧检验问题。

根据题意假设

H0:μ=30; H1:μ>30。

已知n＝100为大样本，样本均值为31min，标准差为12min，根据上式可以构造统计量，即

查标准正态分布表得Z0.05＝1.64。所以Z＝0.833落在接受域内。即接受原假设，拒绝备择假设，此人的说法不可信。

上面这个例子中的结论有可能犯“取伪”错误，即真实的运动时间已经超过了30min，但却没有得到证明。现在我们来重新对上例进行检验。仍然假设H0:μ=30; H1:μ>30，给定α＝0.05。β也可同时给出，但β是与真实的总体的均值联系在一起的。因此当我们无法知道真实的总体均值时，可以逐一假设真实总体均值，从而得出不同的β值。在本例中，先假设真实总体的均值μ1＝33min。首先有公式计算：

由标准正态分布表中可查到临界点0.86到0点的概率为0.3051.所以由-0.86到－∞的概率为β＝0.5－0.3051＝0.1949。

依此类推，可以通过计算得到在不同假设真值μ条件下的β值。如下表所示：

μ值 z值 β 1－β 30.1 1.556 0.9406 0.0594 31 0.8066 0.791 0.209 32 -0.03 0.488 0.512 33 -0.86 0.1949 0.8051 34 -1.693 0.0455 0.9545 35 -2.526 0.0057 0.9943

上表中的1－β表示原假设不真时，被拒绝的概率；1－β也称为功效函数。可以看到，当μ值离30很近时，1－β值很小，并且以原假设的30为极限；当μ离30较远时，1－β值逐渐增加。这就是说，如果真实的μ值离原假设的30相距不远时，犯“取伪”的错误的可能性是很大的；反之，相距较远时，则犯“取伪”的错误的可能性就很小。本例中当μ1＝35时，β＝0.0057，即取伪的错误概率只有0.57%，几乎不可能发生。

根据给定α以及确定样本容量n以后，就可以知道在不同真实总体均值的情况下，β值的大小。在上表中，当μ1＝33时，β＝0.1949。但如果在检验中，我们希望μ1＝33时，犯“取伪”错误的概率β＝0.1，而不是0.1949。就是说在检验时，如果学生锻炼时间是33min，那么检验者只想冒β＝0.1的风险接受H0为假时的假设，而不是β＝0.1949。对此，只能通过调整样本容量来完成。如检验前确定α＝0.05，μ1＝33时，β＝0.1，则根据公式计算n，即

即满足上述要求的样本容量是137人，比原来调查的100人增加了37人。

有本例可以看到，当n一定时，α增大，β将减小；α减小，β将增大。当α一定时，n增大，β将减小；n减小，β将增大。所以，在实际检验中，当n一定时，研究者并不是选择很小的α。因为这样的选择虽然可以使“弃真”错误减少，但同时也增加了“取伪”错误的概率。