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用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况

作者: afenxi来源: afenxi时间:2017-03-04 13:09:310

摘要:本文是从贝叶斯分类器的角度来讨论判别分析

摘要:本文是从贝叶斯分类器的角度来讨论判别分析,有关贝叶斯分类器的概念可参考文末延伸阅读第1-2篇文章。至于Fisher判别分析,未来会连同PCA一同讨论。

判别分析也是一种分类器,与逻辑回归相比,它具有以下优势:

当类别的区分度高的时候,逻辑回归的参数估计不够稳定,它点在线性判别分析中是不存在的; 如果样本量n比较小,而且在每一类响应变量中预测变量X近似服从正态分布,那么线性判别分析比逻辑回归更稳定; 多于两类的分类问题时,线性判别分析更普遍。

贝叶斯分类器

贝叶斯分类的基本思想是:对于多分类(大于等于2类)的问题,计算在已知条件下各类别的条件概率,取条件概率最大的那一类作为分类结果。用公式描述如下:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网其中,

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网是第k类的先验概率,

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是第k类的概率密度(当然如果是离散型变量就是条件概率,本文考虑连续型变量)。这个公式就是贝叶斯定理。

线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)

1、 一元线性判别分析

假设特征变量满足正态分布,即:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网线性判别分析有一个重要假设:假设所有K类的划分方差相同,即用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网

根据贝叶斯定理有:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网对分子取对数转换,可见

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最大等价于下式最大:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网(这里十分诚意地附上推导过程,没兴趣的可以直接跳过:)

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网所以只要找到令上式最大的k值即可。从上式可看出,一共有

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这三种参数需要估计拟合。先验概率用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网

可以根据业务知识进行预先估计,如果不行也可以直接以样本中第k类的样本在所有类的总样本中的比例当作先验概率,即

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网至于期望和方差,直接根据各类的观测值计算即可:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网从上上式(我就不编号)可看出,

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是x的线性函数,这也是LDA名为“线性”的原因。

2、多元线性判别分析

多元LDA由于涉及到多个特征变量,因此用协方差矩阵来代替一维方差(协方差矩阵的概念可参考延伸阅读文献3)。这里直接给结论,线性模型就变成:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网除了方差变成协方差矩阵,x和用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网也变成了向量。注意这里的x还是一次,仍然是线性模型。

二次判别分析(Quadratic Discriminant Analysis, QDA)

在LDA中假设所有的K类方差(或协方差矩阵)都相同,但这个假设有些严苛,如果放宽这个假设,允许每一类的观测都各自服从一个正态分布,协方差矩阵可以不同,LDA就变成了QDA。这里依然直接给公式:

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网可见

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是x的二次函数,故名“二次判别分析”。

QDA与LDA的关系类似于多项式回归与线性回归的关系,本质上仍是偏差和方差的权衡,这也是Machine Learning领域的一个核心问题。QDA比LDA光滑,偏差更小,但方差更大。那么它们的适用条件呢?

一般而言,如果训练观测数据量相对较少,LDA是一个比QDA更好的决策,降低模型的方差很有必要。相反地,如果训练集非常大,则更倾向于使用QDA,这时分类器的方差不再是一个主要关心的问题,或者说K类的协方差矩阵相同的假设是站不住脚的。

实战:用LDA(QDA)再次预测股票涨跌

这里为了方(tou)便(lan),依然使用延伸阅读文献4里的数据集,即ISLR包里的Smarket数据集。用不同方法做同样的事,其实也方便将不同方法进行对比。

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Prior probabilities of groups是先验概率,实际上就是各类别在训练集中的比例:

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Group means是对每类每个变量计算平均,用来估计参数用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网通过Group means矩阵可看出:当股票下跌时,前两天的投资回报率会趋向于正;当股票上涨时,前两天的投资回报率会趋向于负。Coefficients of linear discriminants则是线性模型的系数,说明当

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很大时,LDA分类器预测上涨;

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很小时,LDA分类器预测下跌。

> plot(lda.fit)

用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网上面的图是对LDA模型的可视化,实际上它是训练集的

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分别在Down类和Up类的直方图。下面验证比较一下:

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用贝叶斯判别分析预测股票涨跌情况-数据分析网可见直方图形状完全一致。

以上在训练集中对LDA模型的训练过程。下面在测试集中验证LDA模型。

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比较一下上一篇逻辑回归(延伸阅读文献4)中的结果:

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LDA的结果与逻辑回归完全一致!以一个数据分析狮敏锐的第六感,我们可以大胆猜测:LDA与逻辑回归这两种算法可能有某种内在联系!

这里不做严谨的推导(深层的推导可参考延伸阅读文献6),只作一个简单的验证比较。为了简单起见,只考虑二分类问题,多分类问题可同理类推。

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可见这仍是关于x的线性函数,与逻辑回归形式一致!虽然形式一致,但逻辑回归的参数是通过极大似然法估计出来的,LDA的参数是概率密度函数计算出来的。

由于LDA与逻辑回归形只是拟合过程不同,因此二者所得的结果应该是接近的。事实上,这一情况经常发生,但并非必然。LDA假设观测服从每一类的协方差矩阵都相同的正态分布,当这一假设近似成立时,LDA效果比逻辑回归好;相反,若这个假设不成立,则逻辑回归效果比LDA好。

下面练习QDA:

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可见QDA的准确率稍高于LDA。

参考文献

Gareth James et al. An Introduction to Statistical Learning.

延伸阅读

算法杂货铺——分类算法之朴素贝叶斯分类(Naive Bayesian classification) 算法杂货铺——分类算法之贝叶斯网络(Bayesian networks) 协方差的意义和计算公式 逻辑回归模型预测股票涨跌 机器学习笔记 线性判别分析(上) 机器学习笔记 线性判别分析(中)

来源:数据人网  作者:依然很拉风

链接:http://shujuren.org/article/164.html

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