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标准正态分布函数的快速计算方法

作者: afenxi来源: afenxi时间:2017-06-04 14:42:550

标准正态分布函数的快速计算方法-数据分析网

标准正态分布的分布函数 Φ(x)Φ(x) 可以说是统计计算中非常重要的一个函数,基本上有正态分布的地方都或多或少会用上它。在一些特定的问题中,我们需要大量多次地计算这个函数的取值,比如我经常需要算正态分布与另一个随机变量之和的分布,这时候就需要用到数值积分,而被积函数就包含 Φ(x)Φ(x)。如果 Z∼N(0,1),X∼f(x)Z∼N(0,1),X∼f(x),ff 是 XX 的密度函数,那么 Z+XZ+X 的分布函数就是

P(Z+X≤t)=∫+∞−∞Φ(t−x)f(x)dxP(Z+X≤t)=∫−∞+∞Φ(t−x)f(x)dx

我们知道,Φ(x)Φ(x) 没有简单的显式表达式,所以它需要用一定的数值方法进行计算。在大部分的科学计算软件中,计算的精度往往是第一位的,因此其算法一般会比较复杂。当这个函数需要被计算成千上万次的时候,速度可能就成为了一个瓶颈。

当然有问题就会有对策,一种常见的做法是略微放弃一些精度,以换取更简单的计算。在大部分实际应用中,一个合理的误差大小,例如 10−710−7,一般就足够了。在这篇文章中,给大家介绍两种简单的方法,它们都比R中自带的 pnorm() 更快,且误差都控制在 10−710−7 的级别。

第一种办法来自于经典参考书 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions 的公式 26.2.17。其基本思想是把 Φ(x)Φ(x) 表达成正态密度函数 ϕ(x)ϕ(x) 和一个有理函数的乘积。这种办法可以保证误差小于 7.5×10−87.5×10−8,一段C++实现可以在这里找到。(代码中的常数与书中的略有区别,是因为代码是针对误差函数 erf(x)erf(x) 编写的,它与 Φ(x)Φ(x) 相差一些常数)

我们来对比一下这种方法与R中 pnorm() 的速度,并验证其精度。

library(Rcpp) sourceCpp("test_as26217.cpp") x = seq(-6, 6, by = 1e-6) system.time(y <- pnorm(x)) ## user system elapsed ## 1.049 0.000 1.048 system.time(asy <- r_as26217ncdf(x)) ## user system elapsed ## 0.293 0.019 0.311 max(abs(y - asy)) ## [1] 6.968772e-08

可以看出,A&S 26.2.17 的速度大约是 pnorm() 的三倍,且误差也在预定的范围里,是对计算效率的一次巨大提升。

那么还有没有可能更快呢?答案是肯定的,而且你其实已经多次使用过这种方法了。怎么,不相信?看看下面这张图,你就明白了。

标准正态分布函数的快速计算方法-数据分析网

没错,这种更快的方法其实就是两个字:查表。它的基本想法是,我们预先计算好一系列的函数取值 (xi,Φ(xi))(xi,Φ(xi)),然后当我们需要计算某个点 x0x0 时,就找到离它最近的两个点 xkxk 和 xk+1xk+1,再用线性插值的方法得到 Φ(x0)Φ(x0) 的近似取值:

Φ(x0)≈x0−xkxk+1−xkΦ(xi+1)+xk+1−x0xk+1−xkΦ(xi)Φ(x0)≈x0−xkxk+1−xkΦ(xi+1)+xk+1−x0xk+1−xkΦ(xi)

什么?觉得这个方法太简单了?先别急,这里面还有不少学问。之前我们说了,我们需要保证这种方法的误差不超过 ϵ=10−7ϵ=10−7,因此就需要合理地选择预先计算的点。由于 Φ(−x)=1−Φ(x)Φ(−x)=1−Φ(x),我们暂且只需要考虑 xx 为正的情况。如果让 xi=ih,i=0,1,…,Nxi=ih,i=0,1,…,N,那么对函数 ff 进行线性插值的误差将不超过(来源)

E(x)≤18∥f′′∥∞h2E(x)≤18∥f″∥∞h2

其中 ∥f′′∥∞∥f″∥∞ 是函数二阶导绝对值的最大值。对于正态分布函数来说,它等于 ϕ(1)≈0.242ϕ(1)≈0.242。于是令 E(x)=10−7E(x)=10−7,我们就可以解出 h≈0.001818h≈0.001818。最后,只要 xN>5.199xN>5.199,即 N≥2860N≥2860 并另所有 x>xNx>xN 的取值等于1,就可以保证整个实数域上 Φ(x)Φ(x) 的近似误差都不超过 10−710−7。

这种简单方法的实现我放在了 Github 上,源程序和测试代码也可以在文章最后找到。下面给出它的表现:

library(Rcpp) sourceCpp("test_fastncdf.cpp") x = seq(-6, 6, by = 1e-6) system.time(fasty <- r_fastncdf(x)) ## user system elapsed ## 0.043 0.024 0.066 max(abs(y - fasty)) ## [1] 9.99999e-08

与之前的结果相比,相当于速度是 pnorm() 的15倍!

我们似乎一直以为,在计算机和统计软件普及以后,一些传统的做法就会慢慢被淘汰,例如现在除了考试,或许大部分的时间我们都是在用软件而不是正态概率表。从教学与实际应用的角度来看,这种做法是应该进行推广和普及的,但这也不妨碍我们从一些“旧知识”中汲取营养。关于这种大巧若拙的做法的故事还有很多,比如广为流传的这一则。在计算资源匮乏的年代,科学家们想出了各种巧妙的办法来解决他们遇到的各种问题。现如今计算机的性能已经远不是当年可以媲迹,但前人的很多智慧却依然穿透了时间来为现在的我们提供帮助,不得不说这也是一种缘分吧。

作者:Yixuan,中国人民大学统计学院硕士,普渡(众生)大学博士研究僧

来自:统计之都

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