小白学统计（19）连续型随机变量概率分布——正态分布

正态概率分布是连续型随机变量概率分布中最重要的形式，它在实践中有着广泛的应用。在自然界和人类社会，有许多现象的分布都服从正态分布，如人的身高、体重、智商分数；某种产品的尺寸和质量；降雨量；学习成绩，特别是，在统计推断时，当样本的数量足够大时，许多统计数据都服从正态分布。因此，正态分布在抽样理论中占有重要地位。另外，正态分布还是其他连续型概率分布的极限分布，可用正态分布近似计算或导出其他连续型概率分布。

如果随机变量X具有概率密度函数

则称X是服从参数为µ，σ2的正态分布。式中µ＝均值，σ＝标准差，π＝3.14159，e＝2.71828。

如果随机变量X服从正态分布，记为X～N(µ，σ2)。µ，σ是决定正态分布的两个参数。µ决定水平位置，σ决定离散程度。

正态分布的概率密度函数具有下列性质；

以x＝µ为对称轴的对称分布； 以x轴为渐近线； 若随机变量X1,X2…,Xn皆服从正态分布，且相互独立，则对任意几个常数a1,a2,…,an(不全为0)，Z=a1X1+a2x2+……+anXn也服从正态分布。

用正态分布曲线积分求得概率是非常困难的，这样的积分只能用数值方法求出。同时，提供包括所有不同的µ和σ的正态分布表也是不可能的。所以统计学家通过一种简单的方法来解决这一问题。对于一个随机变量X～N(µ，σ2)，如果令Z=(x-µ)/σ，则随机变量Z服从µ=0,σ2=1的正态分布，记为Z～N(0,1)，称为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数为：

通过上式可以看出标准正态分布不再依赖于参数µ和σ，它是固定的，是唯一的。因此，标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系被计算出来，并列为标准正态概率分布表，以便查询。于是，对于不同的µ和σ，只要将变量值转化为Z值，然后查表即可得到其概率值。

例子：已知研究生完成一篇硕士论文的时间服从正态分布，平均花费2500h，标准差为400h，现随机找到一个已完成论文的学生，求：

（1）他完成论文的时间超过2700h的概率；

（2）他完成论文的时间低于2000h的概率；

（3）他完成论文的时间在2400h～2600h之间的概率。

解：用X表示完成论文的时间，则X～N(2500，4002)。这是非标准的正态分布，如果直接计算概率是非常麻烦的，我们首先将其转化为标准正态分布，然后通过标准正态分布表查出变量的概率值。

（1）求P(X>2700)

Z=(x-µ)/σ=(2700-2500)/400=0.5

可以查询标准正态分布概率表，表中第一列是z值，第一行是z值的补充值，其余数值为X值到0之间的积分面积，也即是概率值。现z=0.5求的是从0.5到+∞的区间上的概率。首先找到z=0.5行，该值没有补充值，查到0.00列与0.5行交叉的数值为0.1915，该值是0.5到0之间的概率值，需用0.5（概率对称性，一半的概率）减去0.1915（正态分布的对称性质，左右概率各占0.5），所得0.3085即为所求。

（2）求P(X<2000)

Z=(x-µ)/σ=(2000-2500)/400=-1.25

在附表中，z没有负值，但根据正态分布的对称性，1.25的概率值与－1.25的概率值完全对称，所以只查1.25的概率值即可。查表的z=1.2行，0.05列，两者交叉数值为0.3944，这个数值是0到1.25之间的概率，也相当是－1.25到0之间的概率。题中所求是小于2000h的概率，所以是－1.25的左侧概率。仍然要用0.5（概率对称性，一半的概率）减去0.3944，得0.1056。

（3）求P(2400<X<2600)

Z1=(x-µ)/σ=(2600-2500)/400=0.25

Z2=(x-µ)/σ=(2400-2500)/400=-0.25

查表可得，z=0.2行与0.05列，交叉值为0.0987，即所求概率为0.0987×2=0.1974。

根据标准正态分布表我们可以得到，有95.44%的z值在z=+/-2之间变动，有99.74%的z值在z=+/-3之间变动。由此可以得到一个非常重要的结论；对于任意的正态分布，其随机变量值几乎全部（99.74%）会落在µ-3σ和µ+3σ，这就是在质量控制中经常用到的3σ原则。